Falsos positivos y falsos negativos

La prueba dice “Sí” … ¿o sí?

Cuando tiene un examen que puede decir “Sí” o “No” (como un examen médico), debe pensar:

• Podría ser incorrecto cuando dice “Sí”.
• Podría ser incorrecto cuando dice “No”.

¿Mal?

¡Es como si te dijeran que hiciste algo cuando tú no !

O no lo hiciste cuando realmente lo hiciste.

Cada uno tiene un nombre especial: “Falso positivo” y “Falso negativo” :

	Dicen que hiciste	Dicen que no
Realmente lo hiciste	¡Tienen razón!	“Falso negativo”
Realmente no lo hiciste	“Falso positivo”	¡Tienen razón!

Estos son algunos ejemplos de “falsos positivos” y “falsos negativos”:

Seguridad del aeropuerto : un “falso positivo” es cuando elementos ordinarios como llaves o monedas se confunden con armas (la máquina emite un “pitido”)
Control de calidad : un “falso positivo” es cuando un artículo de buena calidad es rechazado, y un “falso negativo” es cuando un artículo de mala calidad es aceptado. (Un resultado “positivo” significa que hay un defecto.)
Software antivirus : un “falso positivo” es cuando se cree que un archivo normal es un virus
Examen médico : las pruebas de bajo costo que se realizan a un grupo grande pueden dar muchos falsos positivos (decir que tiene una enfermedad cuando no la tiene) y luego pedirle que se haga pruebas más precisas.

Pero muchas personas no entienden los números verdaderos detrás de “Sí” o “No”, como en este ejemplo:

Ejemplo: ¿alergia o no?

Hunter dice que le pica. Hay una prueba de alergia a los gatos, pero esta prueba no siempre es correcta:

• Para las personas que realmente tienen tienen alergia, la prueba dice “Sí” 80% de las veces
• Para las personas que no tienen alergia, la prueba dice “Sí” 10% del tiempo (“falso positivo”)

Aquí está en una tabla:

	La prueba dice “Sí”	La prueba dice “No”
Tiene alergia	80%	20% “Falso negativo”
No lo tengo	10% “falso positivo”	90%

 

Pregunta: Si el 1% de la población tiene alergia, y La prueba de Hunter dice “Sí” ,
¿Cuáles son las posibilidades de que Hunter realmente tenga la alergia?

 

¿Crees que el 75%? O tal vez el 50%?

 

Hay tres formas diferentes de resolver esto:

• “Imagine a 1000”,
• “Diagramas de árbol” o
• “Teorema de Bayes”,

usa el que prefieras. Miremos ahora:

Intenta imaginar a mil personas

Cuando intentes comprender preguntas como esta, solo imagina un grupo grande (digamos 1000) y juega con los números:

De 1000 personas, solo 10 realmente tienen alergia (1% de 1000 es 10)
La prueba es 80% correcta para las personas que tienen alergia, por lo que obtendrá 8 de esos 10 correctos .
Pero 990 no tienen alergia, y la prueba dirá “Sí” al 10% de ellos,
que es 99 personas dice “Sí” a erróneamente (falso positivo)
Entonces, de 1000 personas, la prueba dice “ Sí ” a (8 + 99) = 107 personas

Como tabla:

	Incluido en el 1%	La prueba dice “Sí”	La prueba dice “No”
Tiene alergia	10	8	2
No lo tengo	990	99	891
	1000	107	893

Entonces 107 personas obtienen un “Sí” pero solo 8 de ellos realmente tienen alergia:

 

8/107 = aproximadamente 7%

Entonces, aunque la prueba de Hunter dijo “Sí”, todavía es 7% probable que Hunter tiene una alergia a los gatos.

¿Por qué tan pequeño? Bueno, la alergia es tan rara que aquellos que realmente la tienen son muy superados en número por aquellos con un falso positivo.

Como un árbol

Dibujar un diagrama de árbol realmente puede ayudar:

Primero que nada, verifiquemos que todos los porcentajes sumen:

0.8% + 0.2% + 9.9% + 89.1% = 100% (¡bien!)

Y las dos respuestas “Sí” suman 0.8% + 9.9% = 10.7% , pero solo 0.8% son correctas.

0.8 / 10.7 = 7% (misma respuesta que la anterior)

 

Teorema de Bayes

El teorema de Bayes tiene una fórmula especial para este tipo de cosas:

 

P (A | B) = P (A) P (B | A) P (A) P (B | A) + P (no A) P ( B | no A)

 

donde:

 

• P significa “Probabilidad de”
• | significa “dado que”
• A en este caso es “en realidad tiene alergia”
• B en este caso es “la prueba dice que sí”

 

 

Entonces:

 

P (A | B) significa “La probabilidad de que Hunter realmente tenga la alergia dado que la prueba dice Sí”

 

P (B | A) significa “La probabilidad de que la prueba diga Sí dado que Hunter realmente tiene la alergia”

 

 

Para ser más claros, cambiemos A a tiene (en realidad tiene alergia) y B a Sí (la prueba dice que sí):

 

P (tiene | Sí) = P (tiene) P (Sí | tiene) P (tiene) P (Sí | tiene) + P (no tiene) P ( Sí | no tiene)

 

Y pon los números:

 

P (tiene | sí) = 0.01 × 0.8 0.01 × 0.8 + 0.99 × 0.1
= 0,0748 …

 

 

Que es aproximadamente 7%

 

Obtenga más información sobre esto en Bayes ‘Theorem .

Un último ejemplo

Conclusión

 

Al tratar con falsos positivos y falsos negativos (u otras preguntas de probabilidad difíciles) podemos usar estos métodos:

 

• Imagina que tienes 1000 (de lo que sea),
• Haz un diagrama de árbol o
• Usa el teorema de Bayes