Cumpleaños compartidos
Este es un gran rompecabezas, y puedes aprender mucho sobre la probabilidad en el camino …
Hay 30 personas en una habitación … ¿cuál es la posibilidad de que dos de ellos celebren su cumpleaños el mismo día? Asumir 365 días en un año.
Algunas personas pueden pensar:
“hay 30 personas y 365 días, por lo que 30/365 parece correcto.
¿Cuál es 30/365 = 0.08 …, entonces aproximadamente 8% tal vez? “
¡Pero no!
La probabilidad es mucho mayor.
En realidad es probable hay personas que comparten un cumpleaños en esa habitación.
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Porque deberías comparar a todos con los demás.
Y con 30 personas es 435 comparaciones .
Pero también debes tener cuidado de no contar demasiado las posibilidades. |
Te mostraré cómo hacerlo … comenzando con un ejemplo más pequeño:
Amigos y números aleatorios
4 amigos (Alex, Billy, Chris y Dusty) cada uno elige un número aleatorio entre 1 y 5. ¿Cuál es la probabilidad de que alguno de ellos elija el mismo número?
Agregaremos a nuestros amigos uno a la vez …
Primero, ¿cuál es la probabilidad de que Alex y Billy tengan el mismo número?
Billy compara su número con el número de Alex. Hay una probabilidad de 1 en 5 de un partido.
Como diagrama de árbol :
Nota: “Sí” y “No” juntos hacen 1
(1/5 + 4/5 = 5/5 = 1)
Ahora, incluyamos a Chris …
Pero ahora hay dos casos a considerar (llamado ” Probabilidad condicional “):
- Si Alex y Billy coincidían , entonces Chris solo tiene un número para comparar.
- Pero si Alex y Billy no coincidían entonces Chris tiene dos números para comparar.
Y obtenemos esto:
Para la línea superior (Alex y Billy coincidieron ) ya tenemos una coincidencia (una probabilidad de 1/5).
Pero para el caso “Alex y Billy no coincidieron ” hay 2 números con los que Chris podría coincidir, por lo que hay un 2/5 posibilidad de que Chris coincida (contra Alex y Billy). Y una posibilidad de 3/5 de no coincidir.
Y podemos calcular la probabilidad combinada multiplicando las posibilidades que se necesitó para llegar allí:
Siguiendo el camino “No, Sí” … hay una posibilidad de 4/5 de No, seguido de una probabilidad de 2/5 de Sí:
Siguiendo el camino “No, No” … hay una probabilidad de 4/5 de No, seguido de una probabilidad de 3/5 de No:
Observe también que sumar todas las posibilidades es 1 (una buena comprobación de que no nos hemos equivocado):
(5/25) + (8/25) + (12/25) = 25/25 = 1
Ahora, ¿qué sucede cuando incluimos a Dusty?
Es la misma idea, solo más:
OK, eso son los 4 amigos, y las posibilidades de “Sí” juntas hacen 101/125:
Respuesta: 101/125
Pero aquí hay algo interesante … si seguimos el camino “No” podemos omitir todos los otros cálculos y hacer nuestra vida más fácil:
Las posibilidades de que no coincidan son:
(4/5) × (3/5) × (2/5) = 24/125
Entonces las posibilidades de que coincidan son:
1 – (24/125) = 101/125
(¡Y realmente no necesitábamos un diagrama de árbol para eso!)
Y ese es un truco de probabilidad popular:
A menudo es más fácil resolver el caso “No”
(y reste de 1 para el caso “Sí”)
Ejemplo: ¿cuáles son las posibilidades de que con 6 personas cualquiera de ellos celebre su cumpleaños en el mismo mes? (Suponga meses iguales)
El caso de “no coincidencia” para:
- 2 personas es 11/12
- 3 personas es (11/12) × (10/12)
- 4 personas es (11/12) × (10/12) × (9/12)
- 5 personas es (11/12) × (10/12) × (9/12) × (8/12)
- 6 personas es (11/12) × (10/12) × (9/12) × (8/12) × (7/12)
Entonces, la posibilidad de que no coincida es:
(11/12) × (10/12) × (9/12) × (8/12) × [19459046 ] (7/12) = 0.22 …
Dale la vuelta y tenemos la posibilidad de que coincida :
1 – 0,22 … = 0,78 …
Entonces, hay un 78% de posibilidades de que cualquiera de ellos celebre su cumpleaños en el mismo mes
Y ahora podemos intentar calcular la pregunta “Cumpleaños compartido” con la que comenzamos:
Hay 30 personas en una habitación … ¿cuál es la posibilidad de que dos de ellos celebren su cumpleaños el mismo día? Asumir 365 días en un año.
¡Es como el ejemplo anterior! Pero números más grandes y más:
La posibilidad de que no coincida :
364/365 × 363/365 × 362/365 × … × 336/365 = 0.294 …
(Hice ese cálculo en una hoja de cálculo,
pero también hay atajos matemáticos)
Y la probabilidad de que coincida es 1 – 0.294 … :
La probabilidad de compartir un cumpleaños = 1 – 0.294 … = 0.706 …
¡O una probabilidad del 70.6%, que es probable !
Entonces, la probabilidad para 30 personas es de 70% .
Y la probabilidad para 23 personas es de 50% .
Y la probabilidad para 57 personas es 99% (¡casi seguro!)
Entonces, la próxima vez que estés en una habitación con un grupo de personas, ¿por qué no averiguar si hay cumpleaños compartidos?
Nota al pie: en la vida real, los cumpleaños no se distribuyen de manera uniforme … nacen más bebés en julio, agosto y septiembre. Además, los hospitales prefieren trabajar de lunes a viernes, no los fines de semana, por lo que hay más nacimientos a principios de semana. Y luego están los años bisiestos. Pero se entiende la idea.