La distribución binomial

“Bi” significa “dos” (como una bicicleta tiene dos ruedas) … … así que se trata de cosas con dos resultados .

¡Arrojemos una moneda!

Lanza una moneda justa tres veces … ¿cuál es la posibilidad de obtener dos cabezas ?

Lanzar una moneda tres veces ( H es para caras, T para Colas) puede obtener cualquiera de estos 8 resultados :

HHH
HHT
HTH
HTT
THH
THT
TTH
TTT

¿Qué resultados queremos?

“Dos cabezas” podrían estar en cualquier orden: “HHT”, “THH” y “HTH” tienen dos cabezas (y una cola).

Entonces 3 de los resultados producen “Dos cabezas”.

¿Cuál es la probabilidad de cada resultado?

Cada resultado es igualmente probable, y hay 8 de ellos, por lo que cada resultado tiene una probabilidad de 1/8

Entonces, la probabilidad del evento “Dos cabezas” es:

Número de resultados que queremos		Probabilidad de cada resultado
3	×	1/8	= 3/8

Entonces la posibilidad de obtener dos cabezas es 3/8

3 cabezas, 2 cabezas, 1 cabeza, ninguna

Los cálculos son (P significa “Probabilidad de”):

• P (tres cabezas) = ​​P ( HHH ) = 1/8
• P (dos cabezas) = ​​P ( HHT ) + P ( HTH ) + P ( THH ) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8
• P (Una cabeza) = P ( HTT ) + P ( THT ) + P ( TTH ) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8
• P (Cabezas cero) = P ( TTT ) = 1/8

Podemos escribir esto en términos de una Variable aleatoria , X, = “El número de caras de 3 lanzamientos de una moneda”:

• P (X = 3) = 1/8
• P (X = 2) = 3/8
• P (X = 1) = 3/8
• P (X = 0) = 1/8

Y así es como se ve como un Gráfico de barras :

¡Es simétrico!

Haciendo una fórmula

Ahora imagine que queremos las posibilidades de 5 caras en 9 lanzamientos : ¡enumerar los 512 resultados llevará mucho tiempo!

Entonces, hagamos una fórmula.

En nuestro ejemplo anterior, ¿cómo podemos obtener los valores 1, 3, 3 y 1?

Bueno, ¡en realidad están en Triángulo de Pascal !

¿Podemos hacerlos usando una fórmula?

Claro que podemos, y aquí está:

A menudo se le llama “n elige k”

• n = número total
• k = número que queremos
• el “!” significa ” factorial “, por ejemplo 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Puedes leer más
sobre esto en Combinaciones y permutaciones .

Probémoslo:

Vamos a usarlo para una pregunta más difícil:

¡Sesgo!

Hasta ahora, las posibilidades de éxito o fracaso han sido igualmente probables .

Pero, ¿qué pasa si las monedas están sesgadas (aterrizan más en un lado que en el otro) o las opciones no son 50/50.

Dibujemos un diagrama de árbol :

Se resaltan los casos de “Dos pollos”.

Las probabilidades para “dos pollos” resultan ser 0.147 , porque estamos multiplicando dos 0.7s y uno 0.3 en cada caso. En otras palabras

0.147 = 0.7 × 0.7 × 0.3

O, utilizando exponentes:

= 0,7 ² × 0,3 ¹

El 0.7 es la probabilidad de cada opción que queramos, llámela p

El 2 es la cantidad de opciones que queremos, llámelo k

Y tenemos (hasta ahora):

= p ^k × 0,3 ¹

El 0.3 es la probabilidad de la opción opuesta, por lo que es: 1 − p

El 1 es el número de opciones opuestas, por lo que es: n − k

 

Lo que nos da:

= p ^k (1-p) ^(n-k)

Donde

• p es la probabilidad de cada opción que queremos
• k es la cantidad de opciones que queremos
• n es el número total de opciones

Ahora sabemos que la probabilidad de cada resultado es 0.147

Pero tenemos que incluir que hay tres formas en que puede suceder: (pollo, pollo, otro) o (pollo, otro, pollo) o (otro, pollo, pollo)

OK. Eso fue mucho trabajo para algo que ya sabíamos, pero ahora tenemos una fórmula que podemos usar para preguntas más difíciles.

Poniendo todo junto

Ahora sabemos cómo calcular cuántos :

n! k! (N-k)!

Y la probabilidad de cada :

p ^k (1-p) ^(n-k)

Cuando se multiplican juntos obtenemos:

Notas importantes:

• Los ensayos son independientes ,
• Solo hay dos resultados posibles en cada ensayo,
• La probabilidad de “éxito” en cada ensayo es constante.

Quincunx

Juega con el Quincunx (luego lee Quincunx explicado ) para ver la distribución binomial en acción.

Tira el dado

Se lanza un dado justo cuatro veces. Calcule las probabilidades de obtener:

• 0 Dos
• 1 Dos
• 2 Dos
• 3 Dos
• 4 Dos

En este caso n = 4 , p = P (Dos) = 1/6

X es la variable aleatoria “Número de dos por cuatro lanzamientos”.

Sustituye x = 0 a 4 en la fórmula:

P (k de n) = n! k! (N-k)! p ^k (1-p) ^(n-k)

Como esto (con 4 decimales):

• P (X = 0) = 4! ¡0! 4! × (1/6) ⁰ (5/6) ⁴ = 1 × 1 × (5/6) ⁴ = 0.4823
• P (X = 1) = 4! 1! 3! × (1/6) ¹ (5/6) ³ = 4 × (1/6) × (5/6) ^{3 [ 19459062] = 0.3858}
• P (X = 2) = 4! 2! 2! × (1/6) ² (5/6) ² = 6 × (1/6) ² × (5 / 6) ² = 0.1157
• P (X = 3) = 4! 3! 1! × (1/6) ³ (5/6) ¹ = 4 × (1/6) ³ × (5 / 6) = 0.0154
• P (X = 4) = 4! 4! 0! × (1/6) ⁴ (5/6) ⁰ = 1 × (1/6) ⁴ × 1 = 0,0008

Resumen: “para los 4 lanzamientos, hay un 48% de posibilidades de no tener dos, un 39% de posibilidades de 1 dos, un 12% de posibilidades de 2, un 1.5% de posibilidades de 3 y un pequeño 0.08% de posibilidades de todos arroja ser un dos (¡pero aún podría suceder!) “

Esta vez el Gráfico de barras no es simétrico:

¡No es simétrico!

Es sesgado porque p no es 0,5

Bicicletas deportivas

Su empresa fabrica bicicletas deportivas. El 90% pasa la inspección final (y el 10% falla y debe repararse).

¿Cuál es la media esperada y varianza de las 4 próximas inspecciones?

Primero, calculemos todas las probabilidades.

• n = 4,
• p = P (Pase) = 0.9

X es la variable aleatoria “Número de pases de cuatro inspecciones”.

Sustituye x = 0 a 4 en la fórmula:

P (k de n) = n! k! (N-k)! p ^k (1-p) ^(n-k)

Así:

• P (X = 0) = 4! ¡0! 4! × 0,9 ⁰ 0,1 ⁴ = 1 × 1 × 0,0001 = 0,0001
• P (X = 1) = 4! 1! 3! × 0.9 ¹ 0.1 ³ = 4 × 0.9 × 0.001 = 0.0036
• P (X = 2) = 4! 2! 2! × 0.9 ² 0.1 ² = 6 × 0.81 × 0.01 = 0.0486
• P (X = 3) = 4! 3! 1! × 0.9 ³ 0.1 ¹ = 4 × 0.729 × 0.1 = 0.2916
• P (X = 4) = 4! 4! 0! × 0.9 ⁴ 0.1 ⁰ = 1 × 0.6561 × 1 = 0.6561

Resumen: “para las 4 próximas bicicletas, hay una pequeña probabilidad de 0.01% de no pases, 0.36% de posibilidades de 1 pase, 5% de posibilidades de 2 pases, 29% de posibilidades de 3 pases y una enorme probabilidad de 66% todos pasan la inspección “.

Media, varianza y desviación estándar

Calculemos la Media , Varianza y desviación estándar para las inspecciones de bicicletas deportivas.

Hay fórmulas (relativamente) simples para ellos. Son un poco difíciles de probar, ¡pero funcionan!

La ​​media, o “valor esperado”, es:

μ = np

La ​​fórmula para la varianza es:

Varianza: σ ² = np (1-p)

Y la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:

σ = √ (np (1-p))

Resumen

• La fórmula general de probabilidad binomial:

  P (k de n) = n! k! (N-k)! p ^k (1-p) ^(n-k)

• Valor medio de X: μ = np
• Varianza de X: σ ² = np (1-p)
• Desviación estándar de X: σ = √ (np (1-p))