Probabilidad condicional
Cómo manejar Eventos dependientes
¡La vida está llena de eventos aleatorios! Necesita tener una “sensación” para que sean una persona inteligente y exitosa.
Eventos independientes
Los eventos pueden ser ” Independientes “, lo que significa que cada evento no se ve afectado por ningún otro evento.
Ejemplo: lanzar una moneda.
Cada lanzamiento de una moneda es una cosa aislada perfecta.
Lo que hizo en el pasado no afectará el lanzamiento actual.
La posibilidad es simplemente 1 en 2, o 50%, como CUALQUIER lanzamiento de la moneda.
Entonces, cada lanzamiento es un Evento independiente .
Eventos dependientes
Pero los eventos también pueden ser “dependientes” … lo que significa que pueden verse afectados por eventos anteriores …
Ejemplo: canicas en una bolsa
2 canicas azules y 3 rojas están en una bolsa.
¿Cuáles son las posibilidades de obtener una canica azul?
La probabilidad es 2 en 5
Pero después de sacar uno ¡las posibilidades cambian!
Entonces, la próxima vez:
si tenemos una canica roja antes, entonces la posibilidad de una canica azul después es 2 en 4
si tenemos una canica azul antes, entonces la posibilidad de una canica azul a continuación es 1 en 4
Esto se debe a que estamos retirando canicas de la bolsa.
Entonces, el próximo evento depende de lo que sucedió en el evento anterior, y se llama dependiente .
Reemplazo
Nota: si reemplazamos las canicas en la bolsa cada vez, entonces las posibilidades no cambian y los eventos son independientes :
- Con Reemplazo: los eventos son Independientes (las posibilidades no cambian)
- Sin Reemplazo: los eventos son Dependientes (las posibilidades cambian)
Los eventos dependientes son lo que vemos aquí.
Diagrama de árbol
Un Diagrama de árbol : es una forma maravillosa de imaginar lo que está sucediendo, así que construyamos uno para nuestro ejemplo de canicas.
Hay una posibilidad de 2/5 de sacar una canica azul, y una probabilidad de 3/5 de rojo:
Podemos ir un paso más allá y ver qué sucede cuando elegimos una segunda canica:
Si primero se seleccionó una canica azul, ahora hay una probabilidad de 1/4 de obtener una canica azul y una probabilidad de 3/4 de obtener una canica roja.
Si primero se seleccionó una canica roja, ahora hay una probabilidad de 2/4 de obtener una canica azul y una probabilidad de 2/4 de obtener una canica roja.
Ahora podemos responder preguntas como “¿Cuáles son las posibilidades de sacar 2 canicas azules?”
Respuesta: es una 2/5 de probabilidad seguida de una 1/4 de probabilidad :
¿Viste cómo multiplicamos las posibilidades? Y obtuve 1/10 como resultado.
Las posibilidades de sacar 2 canicas azules son 1/10
Notación
¡Nos encanta la notación en matemáticas! Significa que podemos usar el poder del álgebra para jugar con las ideas. Así que aquí está la notación de probabilidad:
P (A) significa “Probabilidad del evento A”
En nuestro ejemplo de canicas, el evento A es “obtener primero una canica azul” con una probabilidad de 2/5:
P (A) = 2/5
Y el evento B es “obtener un segundo Blue Marble” … pero para eso tenemos 2 opciones:
- Si obtuvimos un Blue Marble primero la oportunidad es ahora 1/4
- Si obtuvimos un Red Marble primero la oportunidad es ahora 2/4
Entonces tenemos que decir cuál queremos , y usar el símbolo “|” significa “dado”:
P (B | A) significa “Evento B dado Evento A”
En otras palabras, el evento A ya ha sucedido, ¿cuál es la posibilidad del evento B?
P (B | A) también se llama la “probabilidad condicional” de B dada A.
Y en nuestro caso:
P (B | A) = 1/4
Entonces, la probabilidad de obtener 2 canicas azules es:
Y lo escribimos como
“Probabilidad de evento A y evento B es igual a
la probabilidad del evento A veces la probabilidad del evento B dado el evento A “
Hagamos el siguiente ejemplo usando solo la notación:
Ejemplo: dibujar 2 reyes de una cubierta
Evento A está dibujando un Rey primero, y Evento B está dibujando un Rey segundo.
Para la primera carta, la posibilidad de sacar un Rey es 4 de 52 (hay 4 Reyes en un mazo de 52 cartas):
P (A) = 4/52
Pero después de eliminar un Rey del mazo, la probabilidad de que la segunda carta sea robada es menor probablemente sea un Rey (solo quedan 3 de las 51 cartas restantes):
P (B | A) = 3/51
Y así:
P (A y B) = P (A) x P (B | A) = (4/52) x (3/51) = 12/2652 = 1/221
Entonces, la probabilidad de obtener 2 reyes es de 1 en 221, o alrededor del 0,5%
Encontrar datos ocultos
Usando Álgebra también podemos “cambiar el tema” de la fórmula, así:
| Comience con: | P (A y B) = P (A) x P (B | A) | |
| Intercambiar lados: | P (A) x P (B | A) = P (A y B) | |
| Dividir por P (A): | P (B | A) = P (A y B) / P (A) |
Y tenemos otra fórmula útil:
“La probabilidad de evento B dado el evento A es igual a
la probabilidad del evento A y el evento B dividido por la probabilidad del evento A
Ejemplo: helado
Al 70% de tus amigos les gusta el chocolate y al 35% le gusta el chocolate Y le gusta la fresa.
¿Qué porcentaje de aquellos a quienes les gusta el chocolate también les gusta la fresa?
P (Fresa | Chocolate) = P (Chocolate y Fresa) / P (Chocolate)
Al 50% de tus amigos que les gusta el chocolate también les gusta la fresa
Gran ejemplo: juego de fútbol
Estás en el fútbol y quieres ser el portero, pero eso depende de quién sea el entrenador hoy:
- con el entrenador Sam, la probabilidad de ser portero es 0,5
- con el entrenador Alex, la probabilidad de ser Portero es 0.3
Sam es entrenador más a menudo … alrededor de 6 de cada 10 juegos (una probabilidad de 0.6 ).
Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que seas un portero hoy?
Construyamos un diagrama de árbol . Primero mostramos los dos posibles entrenadores: Sam o Alex:
La probabilidad de obtener Sam es 0.6, por lo que la probabilidad de Alex debe ser 0.4 (en conjunto, la probabilidad es 1)
Ahora, si obtienes a Sam, hay 0.5 probabilidad de ser Portero (y 0.5 de no ser Portero):
Si obtienes a Alex, hay 0.3 probabilidades de ser Portero (y 0.7 no):
El diagrama de árbol está completo, ahora calculemos las probabilidades generales. Recuerda eso:
P (A y B) = P (A) x P (B | A)
Aquí es cómo hacerlo para la rama “Sam, Sí”:
(Cuando tenemos la probabilidad de 0.6 de que Sam sea entrenador multiplicado por la probabilidad de 0.5 de que Sam te permita ser Portero, terminamos con una probabilidad de 0.3).
¡Pero aún no hemos terminado! No hemos incluido a Alex como entrenador:
Una probabilidad de 0.4 de Alex como entrenador, seguida de una probabilidad de 0.3 da 0.12
Y las dos ramas “Sí” del árbol juntas hacen:
0.3 + 0.12 = 0.42 probabilidad de ser portero hoy
(Esa es una probabilidad del 42%)
Verificar
Un último paso: complete los cálculos y asegúrese de que sumen 1:
0.3 + 0.3 + 0.12 + 0.28 = 1
Sí, se suman a 1 , por lo que parece correcto.
Amigos y números aleatorios
Aquí hay otro ejemplo bastante diferente de probabilidad condicional.
4 amigos (Alex, Blake, Chris y Dusty) cada uno elige un número aleatorio entre 1 y 5. ¿Cuál es la probabilidad de que alguno de ellos elija el mismo número?
Agreguemos a nuestros amigos uno a la vez …
Primero, ¿cuál es la probabilidad de que Alex y Blake tengan el mismo número?
Blake compara su número con el número de Alex. Hay una probabilidad de 1 en 5 de un partido.
Como diagrama de árbol :
Nota: “Sí” y “No” juntos hacen 1
(1/5 + 4/5 = 5/5 = 1)
Ahora, incluyamos a Chris …
Pero ahora hay dos casos a considerar:
- Si Alex y Blake coincidían , entonces Chris solo tiene un número para comparar.
- Pero si Alex y Blake no coincidían entonces Chris tiene dos números para comparar.
Y obtenemos esto:
Para la línea superior (Alex y Blake hicieron coincidencia) ya tenemos una coincidencia (una probabilidad de 1/5).
Pero para el “Alex y Blake no coincidieron ” ahora hay una 2/5 posibilidad de que Chris coincida (porque Chris puede igualar su número contra Alex y Blake )
Y podemos calcular la posibilidad combinada por multiplicando las posibilidades que se necesitó para llegar allí:
Siguiendo el camino “No, Sí” … hay una posibilidad de 4/5 de No, seguido de una probabilidad de 2/5 de Sí:
Siguiendo el camino “No, No” … hay una posibilidad de 4/5 de No, seguido de una probabilidad de 3/5 de No:
También tenga en cuenta que cuando sumamos todas las posibilidades, todavía obtenemos 1 (una buena comprobación de que no hemos cometido un error):
(5/25) + (8/25) + (12/25) = 25/25 = 1
Ahora, ¿qué sucede cuando incluimos a Dusty?
Es la misma idea, solo más:
OK, eso son los 4 amigos, y las posibilidades de “Sí” juntas hacen 101/125:
Respuesta: 101/125
Pero aquí hay algo interesante … si seguimos el camino “No” podemos omitir todos los otros cálculos y hacer nuestra vida más fácil:
Las posibilidades de que no coincidan son:
(4/5) × (3/5) × (2/5) = 24/125
Entonces, las posibilidades de que coincidan son:
1 – (24/125) = 101/125
(¡Y realmente no necesitábamos un diagrama de árbol para eso!)
Y ese es un truco de probabilidad popular:
A menudo es más fácil resolver el caso “No”
(y reste de 1 para el caso “Sí”)
(Esta idea se muestra con más detalle en Cumpleaños compartidos .)