Media, mediana y moda
de frecuencias agrupadas
Explicado con tres ejemplos
La raza y el cachorro travieso
Esto comienza con algunos datos sin procesar ( todavía no es una frecuencia agrupada ) …
Alex cronometró a 21 personas en la carrera de velocidad, al segundo más cercano:
59, 65, 61, 62, 53, 55, 60, 70, 64, 56, 58, 58, 62, 62, 68, 65, 56, 59, 68, 61, 67
Para encontrar el Promedio Alex suma todos los números, luego divide por cuántos números:
Media = 59 + 65 + 61 + 62 + 53 + 55 + 60 + 70 + 64 + 56 + 58 + 58 + 62 + 62 + 68 + 65 + 56 + 59 + 68 + 61 + 67 21
= 61,38095 …
Para encontrar el Mediana Alex coloca los números en orden de valor y encuentra el número del medio.
En este caso, la mediana es el 11 th número:
53, 55, 56, 56, 58, 58, 59, 59, 60, 61, 61 , 62, 62, 62, 64, 65, 65, 67, 68, 68, 70
Mediana = 61
Para buscar el modo ,
o valor modal, Alex coloca los números en orden de valor y luego cuenta cuántos
de cada número El modo es el número que aparece con más frecuencia.
(puede haber más de un modo):
53, 55, 56, 56, 58, 58, 59, 59, 60, 61, 61, 62, 62, 62 , 64, 65, 65, 67, 68, 68, 70
62 aparece tres veces, con más frecuencia que los otros valores, por lo que Modo = 62
Tabla de frecuencias agrupadas
Alex luego hace una Tabla de Frecuencia Agrupada :
| Segundos | Frecuencia |
|---|---|
| 51 – 55 | 2 |
| 56 – 60 | 7 |
| 61 – 65 | 8 |
| 66 – 70 | 4 |
Entonces 2 corredores tomaron entre 51 y 55 segundos, 7 tomaron entre 56 y 60 segundos, etc.
¡Oh, no!
De repente, todos los datos originales se pierden (cachorro travieso)
Solo sobrevivió la tabla de frecuencias agrupadas …
… ¿podemos ayudar a Alex a calcular la media, la mediana y la moda solo de esa tabla?
La respuesta es … no, no podemos. No con precisión de todos modos. Pero, podemos hacer estimaciones .
Estimación de la media a partir de datos agrupados
Entonces, todo lo que nos queda es:
| Segundos | Frecuencia |
|---|---|
| 51 – 55 | 2 |
| 56 – 60 | 7 |
| 61 – 65 | 8 |
| 66 – 70 | 4 |
Los grupos (51-55, 56-60, etc.), también llamados intervalos de clase , son de ancho 5
Los puntos medios están en el medio de cada clase: 53, 58, 63 y 68
Podemos estimar la Media utilizando los puntos medios .
Entonces, ¿cómo funciona esto?
Piensa en los 7 corredores del grupo 56 – 60 : todo lo que sabemos es que corrieron en algún lugar entre 56 y 60 segundos:
- Tal vez los siete hicieron 56 segundos,
- Tal vez los siete hicieron 60 segundos,
- Pero es más probable que haya una gran cantidad de números: algunos en 56,
algunos a los 57, etc.
Entonces tomamos un promedio y suponemos que los siete tomaron 58 segundos.
Ahora hagamos la tabla usando puntos medios:
| Punto medio | Frecuencia |
|---|---|
| 53 | 2 |
| 58 | 7 |
| 63 | 8 |
| 68 | 4 |
Nuestro pensamiento es: “2 personas tomaron 53 segundos, 7 personas tomaron 58 segundos, 8 personas tomaron 63 segundos y 4 tomaron 68 segundos”. En otras palabras, imaginamos los datos se ven así:
53, 53, 58, 58, 58, 58, 58, 58, 58, 63, 63, 63, 63, 63, 63, 63, 63, 68, 68, 68, 68
Luego los sumamos y dividimos entre 21. La forma rápida de hacerlo es multiplicar cada punto medio por cada frecuencia:
| Punto medio x |
Frecuencia f |
Punto medio × frecuencia fx |
|---|---|---|
| 53 | 2 | 106 |
| 58 | 7 | 406 |
| 63 | 8 | 504 |
| 68 | 4 | 272 |
| Totales: | 21 | 1288 |
Y luego nuestra estimación del tiempo medio para completar la carrera es:
Promedio estimado = 1288 21 = 61.333 … [ 19459006]
Muy cerca de la respuesta exacta que obtuvimos anteriormente.
Estimación de la mediana a partir de datos agrupados
Veamos nuevamente nuestros datos:
| Segundos | Frecuencia |
|---|---|
| 51 – 55 | 2 |
| 56 – 60 | 7 |
| 61 – 65 | 8 |
| 66 – 70 | 4 |
La mediana es el valor medio, que en nuestro caso es el 11 th uno, que está en el grupo 61 – 65:
Podemos decir “el grupo mediano es 61 – 65″
Pero si deseamos un valor medio estimado debemos analizar más de cerca el grupo 61 – 65.
Lo llamamos “61 – 65”, pero realmente incluye valores desde 60.5 hasta (pero sin incluir) 65.5.
¿Por qué? Bueno, los valores están en segundos completos, por lo que un tiempo real de 60.5 se mide como 61. Asimismo, 65.4 se mide como 65.
En 60.5 ya tenemos 9 corredores, y en el próximo límite en 65.5 tenemos 17 corredores. Al dibujar una línea recta en el medio, podemos determinar dónde está la frecuencia media de n / 2 corredores:
Y esta práctica fórmula hace el cálculo:
Mediana estimada = L + (n / 2) – B G × w
donde:
- L es el límite de clase baja del grupo que contiene la mediana
- n es el número total de valores
- B es la frecuencia acumulativa de los grupos antes del grupo mediano
- G es la frecuencia del grupo mediano
- w es el ancho del grupo
Para nuestro ejemplo:
- L = 60,5
- n = 21
- B = 2 + 7 = 9
- G = 8
- w = 5
Estimación del modo a partir de datos agrupados
Nuevamente, mirando nuestros datos:
| Segundos | Frecuencia |
|---|---|
| 51 – 55 | 2 |
| 56 – 60 | 7 |
| 61 – 65 | 8 |
| 66 – 70 | 4 |
Podemos encontrar fácilmente el grupo modal (el grupo con el mayor
frecuencia), que es 61 – 65
Podemos decir “el grupo modal es 61 – 65″
¡Pero el modo real puede que ni siquiera esté en ese grupo! O puede haber más de un modo. Sin los datos en bruto no sabemos realmente.
Pero, podemos estimar el modo usando la siguiente fórmula:
Modo estimado = L + f m – f m-1 (f m – f m-1 ) + (f m – f m + 1 ) × w [ 19459006]
donde:
- L es el límite de clase baja del grupo modal
- f m-1 es la frecuencia del grupo antes del grupo modal
- f m es la frecuencia del grupo modal
- f m + 1 es la frecuencia del grupo después del grupo modal
- w es el ancho del grupo
En este ejemplo:
- L = 60,5
- f m-1 = 7
- f m = 8
- f m + 1 = 4
- w = 5
Nuestro resultado final es:
- Media estimada: 61,333 …
- Mediana estimada: 61,4375
- Modo estimado: 61,5
(Compare eso con la verdadera media, mediana y moda de 61.38 …, 61 y 62 que obtuvimos al principio).
Y así es como se hace.
¡Ahora veamos dos ejemplos más y practiquemos un poco más en el camino!
Ejemplo de zanahorias baby
Ejemplo: Usted cultivó cincuenta zanahorias baby usando tierra especial. Los desenterra y mide sus longitudes (al mm más cercano) y agrupa los resultados :
| Longitud (mm) | Frecuencia |
|---|---|
| 150 – 154 | 5 |
| 155 – 159 | 2 |
| 160 – 164 | 6 |
| 165 – 169 | 8 |
| 170-174 | 9 |
| 175 – 179 | 11 |
| 180-184 | 6 |
| 185 – 189 | 3 |
Media
| Longitud (mm) | Punto medio x |
Frecuencia f |
fx |
|---|---|---|---|
| 150 – 154 | 152 | 5 | 760 |
| 155 – 159 | 157 | 2 | 314 |
| 160 – 164 | 162 | 6 | 972 |
| 165 – 169 | 167 | 8 | 1336 |
| 170-174 | 172 | 9 | 1548 |
| 175 – 179 | 177 | 11 | 1947 |
| 180-184 | 182 | 6 | 1092 |
| 185 – 189 | 187 | 3 | 561 |
| Totales: | 50 | 8530 |
Media estimada = 8530 50 = 170,6 mm
Mediana
La mediana es la media de la longitud 25 y 26 th , por lo que se encuentra en el grupo 170 – 174 :
- L = 169,5 (el límite de clase baja del grupo 170-174)
- n = 50
- B = 5 + 2 + 6 + 8 = 21
- G = 9
- w = 5
Modo
El grupo modal es el que tiene la frecuencia más alta,
que es 175-179 :
- L = 174.5 (el límite de clase baja del grupo 175-179)
- f m-1 = 9
- f m = 11
- f m + 1 = 6
- w = 5
1 decimal)
Ejemplo de edad
La edad es un caso especial.
Cuando decimos “Sarah
tiene 17 “ella se queda
“17” hasta su decimoctavo cumpleaños.
Ella podría tener 17 años y 364 días y todavía ser llamada “17”.
Esto cambia los puntos medios y los límites de clase.
Ejemplo: las edades de las 112 personas que viven en una isla tropical son
agrupados de la siguiente manera:
| Edad | Número |
|---|---|
| 0 – 9 | 20 |
| 10-19 | 21 |
| 20 – 29 | 23 |
| 30 – 39 | 16 |
| 40 – 49 | 11 |
| 50 – 59 | 10 |
| 60 – 69 | 7 |
| 70 – 79 | 3 |
| 80 – 89 | 1 |
Un niño en el primer grupo 0 – 9 podría ser
casi 10 años Entonces, el punto medio para este grupo es 5 no
4.5
Los puntos medios son 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75 y 85
Del mismo modo, en los cálculos de mediana y modo, utilizaremos el
límites de clase 0, 10, 20, etc.
Media
| Edad | Punto medio x |
Número f |
fx |
|---|---|---|---|
| 0 – 9 | 5 | 20 | 100 |
| 10-19 | 15 | 21 | 315 |
| 20 – 29 | 25 | 23 | 575 |
| 30 – 39 | 35 | 16 | 560 |
| 40 – 49 | 45 | 11 | 495 |
| 50 – 59 | 55 | 10 | 550 |
| 60 – 69 | 65 | 7 | 455 |
| 70 – 79 | 75 | 3 | 225 |
| 80 – 89 | 85 | 1 | 85 |
| Totales: | 112 | 3360 |
Promedio estimado = 3360 112 = 30
Mediana
La mediana es la media de las edades de las personas 56 y 57 , por lo que está en el grupo 20 – 29:
- L = 20 (el límite de clase inferior del intervalo de clase
que contiene la mediana) - n = 112
- B = 20 + 21 = 41
- G = 23
- w = 10
Modo
El grupo modal es el que tiene la frecuencia más alta,
que es 20 – 29:
- L = 20 (el límite de clase inferior de la clase modal)
- f m-1 = 21
- f m = 23
- f m + 1 = 16
- w = 10
1 decimal)
Resumen
- Para los datos agrupados, no podemos encontrar la media, la mediana y la moda exactas,
solo podemos dar estimaciones . - Para estimar la Media use los puntos medios de los intervalos de clase:
Media estimada = Suma de (punto medio × frecuencia) Suma de frecuencia
- Para estimar el uso Mediana :
Mediana estimada = L + (n / 2) – B G × w
donde:
- L es el límite de clase baja del grupo que contiene la mediana
- n es el número total de datos
- B es la frecuencia acumulativa de los grupos antes del grupo mediano
- G es la frecuencia del grupo mediano
- w es el ancho del grupo
- Para estimar el modo use:
Modo estimado = L + f m – f m-1 (f m – f m-1 ) + (f m – f m + 1 ) × w [ 19459006]
donde:
- L es el límite de clase baja del grupo modal
- f m-1 es la frecuencia del grupo antes del grupo modal
- f m es la frecuencia del grupo modal
- f m + 1 es la frecuencia del grupo después del grupo modal
- w es el ancho del grupo