Variables aleatorias:
Media, varianza y
Desviación estándar
Una variable aleatoria es un conjunto de valores posibles de un experimento aleatorio.
Ejemplo: lanzar una moneda: podríamos obtener cara o cruz.
Vamos a darles los valores Cabezas = 0 y Colas = 1 y tenemos una variable aleatoria “X”:
Entonces:
- Tenemos un experimento (como lanzar una moneda)
- Damos valores a cada evento
- El conjunto de valores es una variable aleatoria
Obtenga más información en Variables aleatorias .
Media, varianza y desviación estándar
Ejemplo: Lanzar un solo injusto dado
Por diversión, imagina un dado ponderado (¡trampa!) Para que tengamos estas probabilidades:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,5 |
Valor medio o esperado: μ
Cuando conocemos la probabilidad p de cada valor x podemos calcular el valor esperado (media) de X:
μ = Σxp
Nota: Σ es Notación Sigma , y significa resumir.
Para calcular el valor esperado:
- multiplica cada valor por su probabilidad
- resumirlos
Ejemplo continuado:
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| p | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,5 |
| XP | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 3 |
μ = Σxp = 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.5 + 3 = 4.5
El valor esperado es 4,5
Nota: esta es una media ponderada : los valores con mayor probabilidad tienen una mayor contribución a la media.
Varianza: Var (X)
La variación es:
Var (X) = Σx 2 p – μ 2
Para calcular la Varianza :
- eleva al cuadrado cada valor y multiplica por su probabilidad
- sumarlos y obtenemos Σx 2 p
- luego reste el cuadrado del Valor esperado μ 2
Ejemplo continuado:
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| p | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,5 |
| x 2 p | 0,1 | 0,4 | 0,9 | 1,6 | 2,5 | 18 |
Σx 2 p = 0.1 + 0.4 + 0.9 + 1.6 + 2.5 + 18 = 23.5
Var (X) = Σx 2 p – μ 2 = 23,5 – 4,5 2 = 3,25
La varianza es 3.25
Desviación estándar: σ
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:
σ = √Var (X)
Ejemplo continuado:
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| p | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,5 |
| x 2 p | 0,1 | 0,4 | 0,9 | 1,6 | 2,5 | 18 |
σ = √Var (X) = √3.25 = 1.803 …
La desviación estándar es 1.803 …
¡Tengamos otro ejemplo!
(Tenga en cuenta que ejecutamos la tabla hacia abajo en lugar de a lo largo de este tiempo.)
Planea abrir un nuevo pollo frito McDougals, y encontró estas estadísticas para restaurantes similares:
| Porcentaje | Ganancias del año |
|---|---|
| 20% | Pérdida de $ 50,000 |
| 30% | $ 0 |
| 40% | Ganancia de $ 50,000 |
| 10% | Ganancia de $ 150,000 |
Utilizando eso como probabilidades para el beneficio de su nuevo restaurante, ¿cuál es el valor esperado y la desviación estándar?
La variable aleatoria es X = ‘beneficio posible’.
Suma xp y x 2 p :
| Probabilidad p |
Ganancias ($ ‘000s) x |
XP | x 2 p |
|---|---|---|---|
| 0,2 | -50 | -10 | 500 |
| 0,3 | 0 | 0 | 0 |
| 0,4 | 50 | 20 | 1000 |
| 0,1 | 150 | 15 | 2250 |
| Σp = 1 | Σxp = 25 | Σx 2 p = 3750 |
μ = Σxp = 25
Var (X) = Σx 2 p – μ 2
= 3750 – 25 2
= 3750 – 625
= 3125
σ = √3125 = 56 (al número entero más cercano)
Pero recuerde que están en miles de dólares, entonces:
- μ = $ 25,000
- σ = $ 56,000
Por lo tanto, puede esperar ganar $ 25,000, pero con una desviación muy amplia posible.
Intentemos eso de nuevo, pero con una probabilidad mucho mayor de $ 50,000:
Ejemplo (continuación):
Ahora con diferentes probabilidades (el valor de $ 50,000 tiene una alta probabilidad de 0.7 ahora):
| Probabilidad p |
Ganancias ($ ‘000s) x |
XP | x 2 p |
|---|---|---|---|
| 0,1 | -50 | -5 | 250 |
| 0,1 | 0 | 0 | 0 |
| 0,7 | 50 | 35 | 1750 |
| 0,1 | 150 | 15 | 2250 |
| Σp = 1 | Sumas: | Σxp = 45 | Σx 2 p = 4250 |
μ = Σxp = 45
Var (X) = Σx 2 p – μ 2
= 4250 – 45 2
= 4250 – 2025
= 2225
σ = √2225 = 47 (al número entero más cercano)
En miles de dólares:
- μ = $ 45,000
- σ = $ 47,000
La media ahora está mucho más cerca del valor más probable.
Y la desviación estándar es un poco más pequeña (lo que muestra que los valores son más centrales).
Continuo
Las variables aleatorias pueden ser Discreto
o continuo :
- Los datos discretos solo pueden tomar ciertos valores (como 1,2,3,4,5)
- Los datos continuos pueden tomar cualquier valor dentro de un rango (como la altura de una persona)
Aquí observamos solo datos discretos, como encontrar la media, la varianza y la desviación estándar de las necesidades continuas de datos Integración .
Resumen
- A Aleatorio
La variable es una variable cuyos valores posibles son resultados numéricos
de un experimento al azar. - La Media (Esperada
Valor) es: μ = Σxp - La Varianza es: Var (X) = Σx 2 p – μ 2 [19459016 ]
- La desviación estándar es: σ = √Var (X)